La cinta de Möbius es una superficie no orientable que ha fascinado a matemáticos debido a sus propiedades geométricas y topológicas singulares

Esta figura se obtiene al darle una media vuelta a una tira de papel y unir sus extremos y presenta características inusuales cuando se estudian desde la topología.

El grupo fundamental de un espacio topológico $X$, $\Pi_1(X, x_0)$ describe las clases de homotopía de lazos cerrados y es un invariante topológico crucial para caracterizar su estructura.

En este artículo, haremos el cálculo del grupo fundamental de la cinta de moebius. Se ha creado además una animación en Manim que ilustra el argumento utilizando mediante el concepto de retracto de deformación, que consiste basicamente en una transformación continua hacia la circunferencia.

Lema: Función continua inducida en los cocientes.

Sean $(X_j, \tau_j)$ espacios topológicos. $R_j$ relación de equivalencia en $X_j$. $\pi_j: X_j \rightarrow \frac{X_j}{R_j}$ la proyección al cociente. $j=1,2$.

Sea $f: (X_1, \tau_1) \rightarrow (X_2, \tau_2)$ una aplicación continua que cumple:

$$\forall p,q \in X_1 \quad p R_1 q \Rightarrow f(p) R_2 f(q)$$

Entonces existe una única aplicación

$$\tilde{f}: (X_1/R_1, \tau_1(\pi_1)) \rightarrow (X_2/R_2, \tau_2(\pi_2))$$

tal que $\tilde{f} \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$.

En efecto: $\tilde{f}([p]_1) = [f(p)]_2$

Además, $\tilde{f}$ es continua.

Demostración

$\tilde{f}$ continua $\Leftrightarrow \tilde{f} \circ \pi_1$ continua. Pero $\tilde{f} \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$.

Proposición: El grupo fundamental de la cinta de Möebius es isomorfo a $\mathbb{Z}$

En efecto, la cinta de Möeboius compacta es

$$M = \frac{[-1, 1] \times [-1, 1]}{R}$$ donde en $[-1, 1] \times [-1, 1]$ tenemos la topología usual y $R$ es la relación de equivalencia dada por

$$(x, y) R (x', y') \Leftrightarrow \begin{cases} (x,y) = (x', y') \\ {x, x'} = \{-1, 1\}, y=y' \end{cases}$$

Es decir aquella que identifica los bordes izquierdo y derecho del rectángulo de manera cruzada.

Sen $\pi: [-1, 1] \times [-1, 1] \rightarrow M$ la proyección al cociente y

$$A := \pi([-1, 1] \times \{0\}) \subset M$$

Claramente $A \cong \mathbb{S}^1$, luego $\Pi_1(A) \cong \mathbb{Z}$.

Veamos que $A$ es retracto de deformación de $M$.

Para eso, definimos $r_0: [-1, 1] \times [-1, 1] \rightarrow [-1, 1] \times \{0 \}$ dada por $$r_0(x,y) = (x, 0)$$

Claramente $r$ es continua y su restricción a $[-1, 1] \times \{0\}$ es la identidad.

Resulta que:

$$(x,y) R (x', y') \Rightarrow r_0(x,y) R r_0(x',y')$$

Por lo tanto aplicando el Lema anteriormente probando, obtenemos que existe una única aplicación continua $r: M \rightarrow A$ con $r_0 \circ \pi = \pi \circ r_0$

$$\pi(x,y) = [(x,y)] \longrightarrow [(x, 0)] = \pi(x,0) = \pi(r_0(x,y))$$

Tenemos que $r$ es continua y $r_\vert{A} = Id_A$. Por lo que $r$ es una retracción.

Por otro lado, definimos $H: M \times [0, 1] \rightarrow M$ tal que

$$H([(x,y), s)]) = [(x, (1-s)y)] = \pi(x, (1-s)y)$$

Claramente $H$ es continua por ser composición de funciones continuas y además:

$$H([(x,y)], 0) = [(x,y)]$$

$$H([(x,y)], 1) = [(x,0)] = (i_A \circ r)([(x,y)])$$

Luego $H: Id_m \simeq i_A \circ r$

Por tanto $A$ es un retracto de deformación de $M$.

Por la conservación de los grupos fundamentales:

$$\Pi_1(M) \cong \Pi_1(A) \cong \mathbb{Z}$$