Demostración del Lema de Zorn

El Lema de Zorn es un principio fundamental en la teoría de conjuntos. Este lema es equivalente al Axioma de Elección y al Teorema de Zermelo, y es esencial en muchas áreas de la matemática, como el álgebra y la topología.

Por ejemplo, es utilizado para demostrar la existencia de bases en espacios vectoriales y de ideales maximales en anillos conmutativos.

Enunciado

Lema de Zorn. Si $(X, \leq)$ es un conjunto preordenado en el que toda cadena está acotada superiormente. Entonces $(X, \leq)$ tiene un elemento maximal.

Definiciones previas

Se dice que $(X, \leq)$ es un conjunto preordenado (o proset) cuando algunos elementos pueden ser comparados $a \leq b$ o $b \leq a$

Se dice que $(X, \leq)$ es un conjunto parcialmente ordenado (o poset) cuando es un proset con la propiedad antisimétrica $a \leq b$ y $b \leq a$ $\Leftrightarrow$ $a = b$

Se dice que $(X, \leq)$ es un conjunto totalmente ordenado (o toset) cuando es un poset con todos los elementos comparables.

En lo siguiente $(X, \leq)$ es un conjunto preordenado o proset.

Sea $S \subset X$. Diremos que $m \in S$ es un elemento maximal (resp. minimal) cuando no hay elemento de $S$ (estrictamente) mayor (respectivamente estrictamente menor). Formalmente, $m$ es maximal en $S$ si para todo $s \in S$ si $m \leq s$ entonces $m = s$. Análogamente para el minimal.

Sea $S \subset X$. Diremos que $m \in S$ es el máximo (resp. mínimo) cuando es mayor (resp. menor) que todos los elementos de $S$. Formalmente, $m$ es máximo en $S$ si para todo $s \in S$ $s \leq m$. Análogamente para el mínimo.

Observación: el elemento maximal/minimal no tiene por qué ser único. No confundir con el máximo/mínimo. Éste es mayor/menor que todos (y por tanto comparable) lo cual no tiene por que suceder con el elemento maximal/minimal.

Proposición. Si $S \subset X$ es un conjunto parcialmente ordenado o poset y tiene máximo (resp. mínimo) entonces es el único elemento maximal (resp. minimal).

Demostración

• Sea $m \in S$, si $s \in S$ tal que $m \leq s$ necesariamente por ser $m$ máximo $s \leq m$ y por tanto por la propiedad antisimétrica de los posets $m = s$ ($m$ es maximal, pues no hay elemento estrictimente mayor). $\square$

• Sea $m' \in S$, si $s \in S$ tal que $s \leq m'$ necesariamente por ser $m'$ mínimo $m '\leq s$ y por la propiedad antisimétrica de los posets, $m' = s$. ($m'$ es minimal pues no hay elemento estrictamente menor) $\square$

• Para la unicidad, sea $m$ el máximo de $S$. Supongamos que existe otro elemento $m' \in S$ tal que $m'$ es maximal. Por ser $m$ el máximo, $m' \leq m$. Pero $m'$ es maximal, lo que implica que no puede haber un elemento mayor que $m'$, entonces $m = m'$. Por lo tanto, $m$ es el único elemento maximal. $\square$

• Análogamente para el mínimo.

Definición. Se dice que $A \subset X$ es un conjunto bien ordenado cuando es totalmente ordenado y todo subconjunto suyo no vacío tiene mínimo. La clase de subconjuntos de $X$ bien ordenados se denota como $Well(X)$

Definición. $S \subseteq X$ es un conjunto cerrado inferiormente (c.c.i) en $X$ si para cualquier $u \in S$, si $v \in X$ tal que $v \leq u$ entonces $v \in S$.

Observación: Todo conjunto es cerrado inferiormente en sí mismo.

Definición. $C \subset X$ es una cadena de $X$ sii por def $(C, \leq)$ es totalmente ordenado.

Definición. Si $C$ es cadena de $X$ y $x \in C$, entonces llamamos segmento inicial de $x$ en $C$ a los elementos de $C$ estrictamente menores que $x$. $$I_c(x) = \{y \in C : y \lt x\}$$

Observación: los segmentos iniciales son cerrados inferiormente.

En efecto, sea $u \in I_c(x)$ entonces $u \lt x$. Si $v \in X$ tal que $v \leq u$ entonces $v \lt x$ y por tanto $v \in I_c(x)$.

Axioma de Elección. Dado un conjunto no vacío $X$, existe una función $f$ que asigna a cada subconjunto no vacío de $X$ un elemento de él.

Demostración del Teorema (Lema de Zorn).

Lema de Zorn. Si $(X, \leq)$ es proset en el que toda cadena está acotada superiormente. Entonces $(X, \leq)$ tiene un elemento maximal.

Supongamos que $(X, \leq)$ no tiene elemento maximal y lleguemos a contradicción. Sea $C$ una cadena en $X$, y por hipótesis $u \in X$ una cota superior de $C$. Como no hay elemento maximal, necesariamente existe $v \in X$ tal que $u \lt v$. Luego $C$ admite una cota superior estricta.

Utilizando el Axioma de Elección, existe una función $f$ que asigna a una cadena $C \subset X$ bien ordenada una cota superior estricta $f(C)$.

La contradicción buscada consistirá en encontrar una cadena $U \subset X$ tal que $f(U) \in U$.

Para ello, definimos la noción de conjunto $f$-inductivo.

Definición $A \in Well(X)$ es f-inductivo si para todo $x \in A$ $$x = f(I_A(x))$$

Los conjuntos f-inductivos cumplen el siguiente lema de comparación.

Lema de Comparación. Si $A, B \subset X$ son f-inductivos y $A \neq B$, entonces uno es cerrado inferiormente en el otro.

Demostración

Sean $A \neq B$ subconjuntos f-inductivos en $X$.

Sea $I$ la unión de todos los subconjuntos cerrados inferiormente (ci) en $A$ y en $B$ (en ambos).

$$I = \bigcup_{S \ ci \ A, B}S \subset A \cap B$$

Sea $u \in I$ entonces existe $S_u$ cerrado inferiormente en $A$ y en $B$ tal que $u \in S_u$. Si $v \in A \cup B$, y $v \lt u$ entonces por ser $S_u$ cerrado inferiormente en $A$ y en $B$ se sigue que $v \in S_u \subset I$. Luego $I$ es cerrado inferiormente en $A$ y en $B$. Además es maximal entre estos conjuntos pues cualquier $S$ c.i en $A$ y en $B$ está contenido en $I$.

Supongamos que $I \subsetneq A$ y $I \subsetneq B$ y lleguemos a contradicción.

Sea $y = \min(A \setminus I)$ Sea $z = \min(B \setminus I)$

Entonces,

$$I_A(y) = I = I_B(z)$$

$\boxed{I_A(y) \subset I}\;\;$ Sea $u \in I_A(y)$ entonces $u \lt y$. Como $y = \min(A \setminus I)$ necesariamente $u \in I$.

$\boxed{I_A(y) \supset I}\;\;$ Sea $u \in I \subsetneq A$ luego puedo compararlo con $y$. Es claro que $u \neq y$ porque $y \notin I$. Si $y \lt u$, entonces por ser $I$ cerrado inferiormente en $A$ se tendría $y \in I$ en contra de la def. de $y$. Necesariamente $u \lt y$. Luego $u \in I_A(y)$.

Análogo para la otra igualdad y observamos que $I$ es segmento inicial de $A$ y de $B$ (más fuerte que c.i)

Por $f$-inductividad:

$$y = f(I) = z$$

Si consideramos $$I' = I \cup \{y\} = I \cup \{z\}$$

Sea $u \in A \cup B$ tal que $u \lt y = z$, necesariamente $u \in I_A(y) = I_B(z) = I \subset I'$. Por ser $I$ c.i en $A$ y en $B$, esto prueba que $I'$ también lo es.

Luego $I \cup \{y\} = I \cup \{z\}$ debería estar necesariamente en la unión $I$ obteniendo $y=z \in I$. Contradicción.

Por tanto, $I = A$ o $I = B$, luego uno es cerrado inferiormente en el otro. $\square$

Aplicando el Lema de comparación a la colección de conjuntos $f$-inductivos llegamos a que es totalmente ordenada por la inclusión de conjuntos cerrados inferiormente.

Lema de Union de Conjuntos c.i. - Sea $\{ P_\alpha: \alpha \in A\}$ una colección de subconjuntos de $X$, cada uno con un buen-orden $\leq_\alpha$, tal que para cualquier $\alpha, \beta$, uno de $P_\alpha$, $P_\beta$ (cada uno con su orden) es cerrado inferiormente en el otro. - Sea $P$ la unión $\cup_\alpha \ P_\alpha$, con el orden $x \leq y$ sii por def. $x \leq_\alpha y$ en algún $P_\alpha$ que contenga a ambos.

Entonces $P$ está bien ordenado por $\leq$, con cada $P_\alpha$ cerrado inferiormente en $P$

Demostración

• Observamos que $\leq$ está bien definido y es un orden total. Sean $x, y \in P$, entonces $x \in P_\alpha$ e $y \in P_\beta$ para ciertos $\alpha, \beta$, donde uno de $P_\alpha, P_\beta$ es segmento inicial del otro. Sin pérdida de generalidad, suponemos $P_\alpha \subset P_\beta$ entonces $x, y$ son comparables en $P_\beta$.

• Sea $u \in P_\alpha$ y $v \in P$, entonces $v \in P_\beta$ para cierto $\beta$. Supongamos además $v \leq u$. Por hipótesis, uno de $P_\alpha, P_\beta$ es cerrado inferiormente en el otro. Si $P_\alpha$ es c.i en $P_\beta$, se sigue que $v \in P_\alpha$. Por el contrario, si $P_\beta$ es c.i en $P_\alpha$ trivialmente $v \in P_\alpha$. Luego cada $P_\alpha$ es cerrado inferiormente en $P$.

• Si $\emptyset \neq T \subset P$ entonces $T \cap P_\alpha \neq \emptyset$ para cierto $\alpha$ luego hay un mínimo $t \in T \cap P_\alpha$ con respecto a $\leq_\alpha$. Este $t$ es mínimo en $T$ con respecto a $\leq$. Para $s \in T$ con $s \leq t$, por ser $P_\alpha$ c.i en $P$ necesariamente $s \in P_\alpha$. Así $s \in T \cap P_\alpha$ y por def. de mínimo $t \leq_\alpha s$. Por tanto, $t \leq s$. $\square$

Corolario En las condiciones del lema anterior, se verifica que para cualquier $x \in P$ de donde $x \in P_\alpha$ $$I_{P_\alpha}(x) = I_P(x)$$

Demostración

Sea $y \in I_{P_\alpha}(x)$ entonces $y \in P_\alpha \subset P$ tal que $y \lt x$. Luego $y \in I_P(x)$. Sea $y \in I_P(x)$ entonces $y \in P$ tal que $y \lt x$. Como $P_\alpha$ es c.c.i en $P$ por el Lema de Union de c.i, se tiene que $y \in P_\alpha$ y por tanto $y \in I_{P_\alpha}(x)$ $\square$

Así, la unión $U$ de todos los conjuntos f-inductivos es por el Lema de Unión de c.c.i un conjunto bien ordenado. ($U \in Well(X)$).

Además, sea $$x \in U = \bigcup_{S \ f-ind} S$$

entonces existe $S_x$ $f$-inductivo tal que $x \in S_x$ por lo que $$x = f(I_{S_x}(x)) = f(I_U(x))$$

usando el Corolario del Lema de Union de c.c.i.

Luego $U$ es el subconjunto $f$-inductivo maximal.

Considerando su cota superior estricta $f(U)$ entonces $U' = U \cup \{f(U)\}$ está totalmente ordenado por estarlo $U$ y por ser $u \lt f(U)$ para todo $u \in U$. Además,

$$I_{U'}(f(U)) = I_{U\cup \{f(U)\}}(f(U)) = U$$

luego

$$f(I_{U'}(f(U))) = f(U)$$

concluyendo que $U' = U \cup \{f(U)\}$ es un conjunto $f$-inductivo que estaría necesariamente en el maximal obteniendo $f(U) \in U$ en contra de la def. $f(U)$ como cota superior estricta de $U$. $\square$

Referencias

1. Miller, Arnold W. "Zorn's Lemma." Digital Commons @ Kennesaw State University, 2013. Zorn's Lemma PDF

2. nLab: Zorn's Lemma Prueba del Lema de Zorn en nLab